Qual é o relacionamento mais próximo que minha filha pode ter com a irmã da mãe do sobrinho da minha irmã?
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quinta-feira, 13 de agosto de 2009
Para quem não e expert
Aula de Matemática para não matemáticos
Hoje resolvi dar uma Aula de Matemática para não matemáticos, inspirado por um "vago" comentário de um leitor. Vou falar de números racionais, que podemos, de forma informal, definir como todos números que podem ser escritos como a razão (divisão) de dois números inteiros. Resolvi escrever apenas em HTML, para ser mais rápido na escrita do texto e para não afastar ninguém com simbologia matemática aterradora.
Podemos dividir estes números em três categorias: os inteiros, as dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas.
Os inteiros, na sua forma não reduzida podem ser escritos sob a forma de uma fracção. A forma mais simples, será transformar um inteiro k na fracção k/1.
As dízimas finitas são fáceis de transformar numa fracção. Basta contar o número n de casas decimais, multiplicar por 10n e dividir por 10n. Por exemplo, 3,12 é igual a 312/100.
O mais complicado será transformar uma dízima infinita periódica numa fracção. Para fazer o contrário, basta uma máquina de calcular. Por exemplo, 5/3=1,666(6), onde o 6 se repete infinitamente. Mas como se chega do 1,666(6) a 5/3. A resposta está no estudo das progressões geométricas.
Na realidade, 1,666(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... = 1 + 6 x 10-1 + 6 x 10-2 + ... + 6 x 10-n + ... = 1 + S
onde S é a série cujo termo geral ou sucessão geradora é 6 x 10-n. E trata-se de uma progressão geométrica, dado que a razão r entre dois termos consecutivos un+1 e un é constante (r = 1/10 = 0,1).
Para quem se lembra da matemática do ensino secundário, se a razão em módulo é inferior a 1, então a série é convergente e a sua soma é S = u1/(1-r). Neste caso, S = 0,6 / (1-0,1) = 0,6 / 0,9 = 6 / 9 = 2 / 3.
Assim, temos que 1,666(6) = 1 + S = 1 + 2 / 3 = 5 / 3.
Quando dava aulas de Matemática (há mais de 5 anos), costumava colocar, na sequência desta explicação, um problema aos meus alunos:Mostre que 0,999(9), dízima infinita periódica, não existe.
Perante a admiração dos alunos e uma série de comentários, acabava por reformular a pergunta, dizendo:Mostre que 0,999(9) = 1.
Posso dizer que era das poucas vezes que encontrava entusiasmo nos alunos relativamente à Matemática. Espero que este texto, ao invés de afastar os leitores não matemáticos, lhes mostre que a Matemática pode ter um lado divertido e prático.
Assim, desafio todos os leitores, especialmente os não matemáticos, a resolver o problema que eu colocava aos meus alunos.
Hoje resolvi dar uma Aula de Matemática para não matemáticos, inspirado por um "vago" comentário de um leitor. Vou falar de números racionais, que podemos, de forma informal, definir como todos números que podem ser escritos como a razão (divisão) de dois números inteiros. Resolvi escrever apenas em HTML, para ser mais rápido na escrita do texto e para não afastar ninguém com simbologia matemática aterradora.
Podemos dividir estes números em três categorias: os inteiros, as dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas.
Os inteiros, na sua forma não reduzida podem ser escritos sob a forma de uma fracção. A forma mais simples, será transformar um inteiro k na fracção k/1.
As dízimas finitas são fáceis de transformar numa fracção. Basta contar o número n de casas decimais, multiplicar por 10n e dividir por 10n. Por exemplo, 3,12 é igual a 312/100.
O mais complicado será transformar uma dízima infinita periódica numa fracção. Para fazer o contrário, basta uma máquina de calcular. Por exemplo, 5/3=1,666(6), onde o 6 se repete infinitamente. Mas como se chega do 1,666(6) a 5/3. A resposta está no estudo das progressões geométricas.
Na realidade, 1,666(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... = 1 + 6 x 10-1 + 6 x 10-2 + ... + 6 x 10-n + ... = 1 + S
onde S é a série cujo termo geral ou sucessão geradora é 6 x 10-n. E trata-se de uma progressão geométrica, dado que a razão r entre dois termos consecutivos un+1 e un é constante (r = 1/10 = 0,1).
Para quem se lembra da matemática do ensino secundário, se a razão em módulo é inferior a 1, então a série é convergente e a sua soma é S = u1/(1-r). Neste caso, S = 0,6 / (1-0,1) = 0,6 / 0,9 = 6 / 9 = 2 / 3.
Assim, temos que 1,666(6) = 1 + S = 1 + 2 / 3 = 5 / 3.
Quando dava aulas de Matemática (há mais de 5 anos), costumava colocar, na sequência desta explicação, um problema aos meus alunos:Mostre que 0,999(9), dízima infinita periódica, não existe.
Perante a admiração dos alunos e uma série de comentários, acabava por reformular a pergunta, dizendo:Mostre que 0,999(9) = 1.
Posso dizer que era das poucas vezes que encontrava entusiasmo nos alunos relativamente à Matemática. Espero que este texto, ao invés de afastar os leitores não matemáticos, lhes mostre que a Matemática pode ter um lado divertido e prático.
Assim, desafio todos os leitores, especialmente os não matemáticos, a resolver o problema que eu colocava aos meus alunos.
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